Элементы теории множеств
Автор: tohshik • Декабрь 19, 2017 • Реферат • 3,035 Слов (13 Страниц) • 1,130 Просмотры
"Элементы теории множеств"
I. Основные понятия и аксиомы теории множеств
Понятие «множество», которое впервые возникло в математике и сегодня является общенаучным. Первый набросок теории множеств принадлежит Бернарду Больцано («Парадоксы бесконечного», 1850). В этой работе рассматриваются произвольные (числовые) множества, и для их сравнения определено понятие взаимно-однозначного соответствия. В конце 19 века Георг Кантор, немецкий математик, основоположник теории множеств, дал интуитивное определение понятию «множеству» так: «Множество есть многое, мыслимое как единое целое». Такое определение множества потребовало введения трех символов . Первый из них должен представлять множество как нечто «единое», т.е. являться представителем самого множества. В качестве такого символа принято применять любую прописную букву какого-либо алфавита: например, обозначать множества прописными буквами латинского алфавита А, В, …, Х или какого-либо другого по соглашению. 2 символ должен представлять «многое», то есть рассматриваться как элемент множества. В качестве этого символа принято использовать строчные буквы этого же алфавита: a, b, …, z. 3 символ должен однозначно соотнести элемент множеству. Стоит отметить, что такое определение понятия множества приводит к ряду внутренних противоречий теории – так называемым парадоксам.
Например, рассмотрим парадокс Рассела. Парикмахер (элемент х), проживающий в некоторой деревне, которые не бреются сами (пусть Х – множество всех тех и только тех жителей данной деревни, которые не бреются сами). Бреет ли парикмахер самого себя? То или [pic 1]? Ответить на вопрос невозможно, поскольку полагая, например, что [pic 2], сразу приходим к противоречию:[pic 3] , и обратно. В школьном курсе математики учащимися рассматривается понятие множества, как неопределяемое понятие, под которым понимается совокупность объектов окружающей нас действительности, мыслимую как единое целое. А каждый объект этой совокупности называют элементом данного множества .
На настоящее время существует несколько аксиоматических систем теории множеств: -Система аксиом Цермело. К этой системе аксиом часто добавляют аксиому выбора, и называют системой Цермело — Френкеля с аксиомой выбора (ZFC). -Аксиомы теории NBG. Данная система аксиом, предложенная фон Нейманом, впоследствии пересмотренная и упрощенная Робинсоном, Бернайсом и Геделем. Система Цермело (Z-система) состоит из 7 аксиом. Опишем данные аксиомы в тех рамках, в которых они используются в школьном курсе математики. Аксиома объемности (Z1). Если все элементы множества А принадлежат множеству В, а все элементы множества В принадлежат также множеству А, то А=В. Для пояснения данной аксиомы нам необходимо использовать термин «подмножество»: Если каждый элемент множества A является элементом множества Z, то говорят, что А – подмножество Z, и пишут[pic 4] . Символ [pic 5]именуется «включение». Если не исключается возможность ситуации, когда Z=A, то для того чтобы акцентировать на этом внимание, пишут
[pic 6]
Введя термин «подмножество», сформулируем аксиому 1 в символьном виде: [pic 7] .
Аксиома пары (Z2). Для произвольных a и b существует множество, единственными элементами которого являются {a,b}.
Данная аксиома используется при пояснении декартова произведения множеств, где первоначальным понятием является «упорядоченная пара». Под упорядоченной парой понимают совокупность двух элементов, каждый из которых занимает в записи определенное место. Обозначают упорядоченную пару так: (а,b). Аксиома суммы (Z3). Для произвольных множеств А и В существует единственное множество С, элементами которого являются все элементы множества А и все элементы множества В и которое никаких других элементов больше не содержит. Аксиома степени (Z4). Для любого множества Х существует множество всех его подмножеств Р(Х).
...