Линейная алгебра
Автор: Margarita_ • Февраль 10, 2019 • Контрольная работа • 637 Слов (3 Страниц) • 280 Просмотры
1 семестр
Семестровая работа по дисциплине
«Математика»
Тема: Линейная алгебра.
Задача 1. Решить систему линейных уравнений методом Крамера, с помощью обратной матрицы и методом Жордана-Гаусса.
3. [pic 1]
Метод Крамера
Главный определитель:
[pic 2]
[pic 3]
Вспомогательные определители:
[pic 4]
[pic 5]
[pic 6]
[pic 7]
[pic 8]
[pic 9]
Решение системы:
[pic 10]
Обратная матрица
Заданную систему запишем в матричной форме AX = B, где
[pic 11]
Так как определитель матрицы А отличен от 0, обратная матрица существует. Вычислим алгебраические дополнения:
[pic 12]
[pic 13]
[pic 14]
[pic 15]
[pic 16]
[pic 17]
[pic 18]
[pic 19]
[pic 20]
Обратная матрица:
[pic 21]
Тогда решение уравнения:
[pic 22]
[pic 23]
Решение системы:
[pic 24]
Метод Жорданно-Гаусса
Выпишем расширенную матрицу и элементарными преобразованиями над строками приведем ее к диагональному виду:
[pic 25]
[pic 26]
Решение системы:
[pic 27]
Тема: Комплексные числа.
Задача 2. Дано комплексное число z. Требуется: 1) записать число z в алгебраической и тригонометрической формах записи комплексного числа; 2) найти все корни уравнения [pic 28].
[pic 29]
1. Преобразуем в алгебраическую форму:
[pic 30]
Значит, [pic 31]
Найдем аргумент комплексного числа:
[pic 32]
[pic 33][pic 34]
Тригонометрическая форма записи:
[pic 35]
2. Найдем корни уравнения [pic 36]
Обозначим [pic 37]
Тогда
[pic 38]
[pic 39][pic 40]
Тригонометрическая форма записи:
[pic 41]
[pic 42]
[pic 43]
При k = 0:
[pic 44]
При k = 1:
[pic 45]
При k = 2:
[pic 46]
Тема: Векторная алгебра.
Задача 3. Коллинеарны ли векторы [pic 47]и [pic 48], построенные по векторам [pic 49]и [pic 50]?
[pic 51]
[pic 52]
[pic 53]
[pic 54]
Проверим выполнения условия коллинеарности:
[pic 55]
Условия не выполняются, векторы не коллинеарны.
Задача 4. Найти косинус угла между векторами [pic 56]и [pic 57].
A(3, 3, -1); B(5, 5, -2); С (4, 1, 1)
Найдем координаты векторов и :[pic 58][pic 59]
[pic 60]
[pic 61]
[pic 62]
Задача 5. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах [pic 63] и [pic 64].
3. [pic 65][pic 66]
[pic 67]
[pic 68]
[pic 69]
Ответ: S = [pic 70]
Задача 6. Компланарны ли векторы [pic 71],[pic 72] и [pic 73].
3. [pic 74] |
Вычислим смешанное произведение векторов и .[pic 75][pic 76]
[pic 77]
[pic 78]
Так как смешанное произведение не равно 0, векторы не являются компланарны.
Ответ: векторы не компланарны.
Задача 7. Найти угол между плоскостями.
3. [pic 79] |
Нормальные векторы плоскостей имеют координаты:
[pic 80]
Угол между плоскостями равен углу между их нормальными векторами:
[pic 81]
Ответ: [pic 82]
Задача 8. Написать канонические уравнения прямой, заданной двумя плоскостями.
3. [pic 83] |
Нормальные векторы плоскостей имеют координаты:
...