Контрольные задания и методические указания по "Математике"

САНКТ- ПЕТЕРБУРГСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ  ТЕХНОЛОИЙ УПРАВЛЕНИЯ И ЭКОНОМИКИ

А.С. Матвеева

Контрольные задания и методические указания

по математике

для студентов заочного отделения

        Групп 144/1 -1  Головина С.В.          

        Вариант N 4

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ

2016 г.

ВАРИАНТ 4.

1.Заданы координаты точек  А и В. Требуется 1) построить точки в системе координат 0ХУ и провести через них прямую  2) написать уравнения прямой АВ (с проверкой).

 А(0,5)    В(6,1)

Решение. 1)  Строим точки А и В по их  координатам.    

                                                                                                                [pic 1]

2) Уравнение прямой АВ – это уравнение прямых, проходящих через две точки:

[pic 2]=[pic 3],        После преобразования уравнения, получим уравнение прямой  АВ в общем виде:       6y + 4x – 30 =0

Проверка:   подставим в полученное уравнение координаты точек  А(0,5) и В(6,1)

6· 5 + 4· 0 - 30=0

30 – 30 = 0 (верно)    

  6· 1 + 4· 6 - 30=0

30 – 30 = 0 (верно)

 Ответ: уравнение прямой АВ:    6y + 4x – 30 =0

2. Построить прямые и найти точку пересечения  прямых.

2х+2у-3=0  и    2х-2у+4=0        

Решение. 

[pic 4]

 Для нахождения точки пересечения непараллельных прямых следует решить систему двух уравнений с двумя неизвестными х и у

[pic 5]

К первому уравнению прибавим второе, получим

2 x + 2x + 2y – 2 y = 3 – 4

4 x = - 1

X = - 1/4

Подставим полученные значения в уравнение 2

(-1/4)·2 – 2 y + 4 = 0

2 y = -4 + ½            y = 7/4

При сравнении полученных данных с графическим представлением, отметим, что они хорошо согласуются. Для проверки подставляем координаты в уравнения обоих прямых:

(-1)·2/4 + 2·(7/4) – 3 = 14/4 –2/4 – 3 = (14 – 12 – 2)/4 = (14 – 14)/4 = 0/4 = 0 (верно)

(-2)/4 – 2 ·(7/4) + 4 = - 1 / 2  - 7/2 + 4 = (-7 – 1 + 8)/2 = (8 – 8)/13 = 0/13 = 0 (верно)

Ответ:  (- 1/4; 7/4) – координаты точки пересечения прямых 

3. Вычислить определители двумя способами и сравнить результаты

[pic 6].

[pic 7]1· [pic 8] + 2· [pic 9]  + 3 ·[pic 10]=1·(4 - 4) +2 (-1 + 1) + 3 (- 4 + 4) = 0 + 0 + 0 = 0

Таким образом, значения определителя, рассчитанные разными способами, совпадают.

Ответ: Определитель [pic 11]

4. Решить систему по формулам  Крамера и матричным  методом  с проверкой.

[pic 12]   

Первый метод. Формулы Крамера имеют вид

х[pic 13] =[pic 14],             х[pic 15] =[pic 16],           х[pic 17] =[pic 18], где

[pic 19]0 - главный определитель системы ( определитель матрицы коэффициентов при неизвестных), [pic 20] ( i=1,2,3) – определитель, полученный из главного, заменой i столбца столбцом свободных членов.

Для нахождения определителей третьего порядка используем правило Саррюса:

[pic 21]

[pic 22]

[pic 23]

[pic 24]

х[pic 25] =[pic 26],             х[pic 27] =[pic 28],           х[pic 29] =[pic 30]

матричный способ:

Х = А–1 В

Матрица В

[pic 31]

Для нахождения матрицы, обратной матрице А, применим следующую формулу:

[pic 32], где Аij – алгебраические дополнения элементов аij

[pic 33]         [pic 34]      [pic 35]

[pic 36]    [pic 37]      [pic 38]

[pic 39]         [pic 40]      [pic 41]

[pic 42]

[pic 43]

проверка:

1 + 5 ·(-1) + 7 = 3               1 + 7 – 5 = 3              3=3  верно

1·5 + 3 ·(-1) – 1 = 1            5 – 3 – 1  = 1             1=1  верно

...