Бөлінгіштің оңай түрлері

                               Бөлінгіштің оңай түрлері.

Салыстырулардың қолданылуына мысал р етінде алдымен бөлінгіштік белгілері жөніндегі  мәселені қарастырайық.

Мынадай есептің шешуінің практикалық және теориялық мәнісі зор : бөлу амалын орындамай тұрып, берілген санның бірі екінші санға бүтіндей бөліне ме,  егер бөлінбесе, қандай қалдықтың қалатынын тағайындау керек.  Бұл жерде кез келген бүтін санның басқа бір санға бөлінуі үшін қажетті және жеткілікті шарттарды көрсету маңызды.

  Бұл мәселені жалпы түрде түрде  шешу қиынға соғады, кейбір жағдайлар үшін тек жеткілікті шарттар ғана, яғни сандардың бөлінгіштік белгілерін ғана,  көрсетуге болады.  Біз енді сандардың 2-ге, 3-ке, 4-ке, 5-ке, 7-ге, 11-ге, 13-ке бөлінгіштік оңай белгілерін ғана тағайындаймыз. Ең  алдымен, қандай m саны болса да ондық санау  системасында мына түрде  жазылатынын ескерте кетейік:

                                 m=10++…+.[pic 1][pic 2][pic 3]

Мұнда-10 нан кем оң бүтін сандар . Бұлар – m санының  жазылуындағы цифрлар.[pic 4]

 2-ге бөлінгіштік  белгісі  болғандықтан , 6-қасиеттің салдары бойынша , былай болады:[pic 5]

               [pic 6]

Сондықтан ,  саны 2-ге бөлінуі үшін , яғни [pic 7]

           [pic 8]

орындалуы  үшін,   санының 2-ге бөлінуі, яғни  орындалуы, қажетті және жеткілікті. Бұған қарап сандардың 2-ге бөлінгіштігінің мынадай оңай белгісін табамыз:  m  саны    2-ге бөліну үшін, m санындағы бірліктер санын білдіретін  –дің 2-ге бөлінуі  қажетті және жеткілікті.[pic 9][pic 10][pic 11]

          3-ке бөлінгіштік белгісі.  және 9-қасиетке сүйеніп, былай жазамыз:[pic 12]

               .[pic 13]

Олай болса , m саны 3-ке бөлінуі үшін   қосындысының 3-ке бөлінуі, яғни [pic 14]

                                                      [pic 15]

орындалуы қажетті және жеткілікті.

Сонымен, 3-ке бөлінгіштік белгісін тұжырымдаймыз:

   Егер  m санының барлық цифрларының қосындысы 3-ке бөлінсе, онда m  санының өзі де 3-ке  бөлінеді. Және керісінше, егер m  саны 3-ке бөлінсе, онда m  санының барлық цифрларының қосындысы 3-ке бөлінеді.

 болатын себепті, 9-ға бөлінгіштік  белгісі  осыған ұқсас.[pic 16]

4-ке  бөлінгіштік  белгісі.  болатын себепті, мына салыстыру[pic 17]

[pic 18]

орындалу үшін, мына шарт

[pic 19]

қажетті және жеткілікті. Бұған қарағанда , 4-ке бөлінгіштік белгісі мынадай болмақ:

   егер m  санының соңғы екі цифрын өрнектейтін сан 4-ке бөлінсе, онда m  санының өзі де 4-ке бөлінеді. Керісінше , егер m  саны 4-ке бөлінсе, онда m  санының  соңғы екі цифрын өрнектейтін сан 4-ке бөлінеді.

25-ке бөлінгіштік  белгісі де осыған ұқсас , өйткені [pic 20]

5-ке бөлінгіштік белгісі .  болатын себепті, кез-келген бүтін оң болғанда, мына салыстыру[pic 21][pic 22]

[pic 23]

Орындалу  үшін ,мына шарт

[pic 24]

жеткілікті.

 Сонда 5-ке бөлінгіштік белгісі  мынадай : егер  m санының  соңғы цифры 5-ке бөлінсе , онда m санының өзі де 5-ке бөлінеді. Бұл шарт қажетті және жеткілікті.

 11-ге бөлінгіштік белгісі. Мынадай  салыстыруларға  сүйеніп

,[pic 25]

,[pic 26]

,[pic 27]

.....................................

Мына салыстыруды жаза аламыз;

[pic 28]

Егер  болса, онда m саны 11-ге бөлінеді.[pic 29]

 Сонда 11-ге бөлінгіштік белгісі мынадай болмақ: егер m санының бірліктерінен бастап, тақ және жұп орындарда тұрған цифрларынан  құралған екі қосындының айырмасы 11-ге бөлінсе, онда m санының өзі де 11-ге бөлінеді. Бұл шарт қажетті және жеткілікті.

Мысалы:  39721 саны  11-ге бөлінеді, өйткені  (1+7+3)-(2+9)=0 де, ол 11-ге бөлінеді.

7-ге және 13-ке бөлінгіштік белгісі. 1001 екендігінтексеру оңай. Сондықтан [pic 30]

     [pic 31][pic 32]

[pic 33]

[pic 34]

                                                                  ................................................................

...