Essays.club - Получите бесплатные рефераты, курсовые работы и научные статьи
Поиск

Матриці та їх використання у розв’язуванні оптимізаційних задач

Автор:   •  Декабрь 5, 2018  •  Реферат  •  699 Слов (3 Страниц)  •  601 Просмотры

Страница 1 из 3

Матриці та їх використання у розв’язуванні оптимізаційних задач

Матриця — математичний об'єкт, записаний у вигляді прямокутної таблиці чисел (чи елементів кільця), він допускає операції (додаваннявідніманнямноження та множення на скаляр). Зазвичай матриці представляються двовимірними (прямокутними) таблицями. Іноді розглядають багатовимірні матриці або матриці непрямокутної форми.

Матриці є корисними для запису даних, що залежать від двох категорій, наприклад: для коефіцієнтів систем лінійних рівнянь та лінійних перетворень.

Матрицею розміру m × n  (m-на-n, або mn-матрицею) називається множина з  елементів , розміщених у вигляді прямокутної таблиці з  рядків і  стовпців, а  і  — її розмірністю:[pic 7][pic 1][pic 2][pic 3][pic 4][pic 5][pic 6]

де  – елемент матриці;  – номер рядка;  – номер стовпця.[pic 8][pic 9][pic 10]

При альтернативному позначенні використовуються великі круглі дужки:[pic 11]

  • Горизонтальні лінії в матриці звуть рядками, вертикальні — стовпцями.
  • Елемент матриці A, що знаходиться на перетині i-го рядка з j-им стовпчиком, називають i,j-им елементом або (i,j)-им елементом A.

 Розмір матриці визначає кількість рядків і стовпців, які вона містить. Матрицю із m рядками і n стовпцями називають матрицею m × n або m-на-n матрицею, а самі m і n називають розмірами матриці.

Матриці, які мають лише один рядок називаються векторами-рядками, а ті що мають один стовпець називаються векторами-стовпцями. Матриця з однаковою кількістю рядків і стовпців називається квадратною матрицею. Матриця із нескінченною кількістю рядків або стовпців (або їх обох) називаєтьсяn нескінченною матрицею. У деякому контексті, наприклад, в комп'ютерних програмах, іноді зручно розглядати таку матрицю, що не містить рядків або стовпців, що називається порожньою матрицею.

Матриці є рівними, якщо:

  1. вони мають однаковий розмір;
  2. їх відповідні елементи рівні, тобто
  3. aij = bij для усіх і = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n

Є такі види матриць:

  1. прямокутна (m>n або m
  2. квадратна (m=n);
  3. трикутна (усі елементи під (над) діагоналлю = 0);
  4. діагональна (усі елементи, крім діагональних, =0);
  5. одинична (діагональна, елементи якої = 1);
  6. нульова (квадратна, усі елементи якої = 0);
  7. матриця-стовпець (матриця розміру mx1);
  8. матриця-рядок (матриця розміру 1xn);
  9. транспонована (рядки замінено стовпцями);
  10. обернена (якщо матриця існує, розраховується за певним правилом).

Дві матриці  та  називаються рівними , якщо рівні їх відповідні елементи, тобто .[pic 12][pic 13][pic 14][pic 15]

Якщо дано дві матриці m-на-n A і B, можемо визначити їх суму A + B як матрицю m-на-n, що утворюється додаванням відповідних елементів, тобто, 
(A + B)[i, j] = A[i, j] + B[i, j]. Наприклад:[pic 16]

Основні властивості операцій додавання матриць:

  • A + B = B + A (комутативність).
  • A + (B + C) = (A + B) + C (асоціативність).
  • A + 0 = A, при будь-якій матриці. Для будь-якої матриці A існує протилежна матриця (-A) , така, що A + (-A) = 0.

Якщо дано матрицю A і число c, можемо означити множення на скаляр cA як (cA)[ij] = cA[ij]. Наприклад:[pic 17]

З цими двома операціями множина M(mn, R) усіх матриць m-на-n з дійсними елементами є дійсним векторним простором розмірності mn.

...

Скачать:   txt (7.6 Kb)   pdf (173.5 Kb)   docx (48 Kb)  
Продолжить читать еще 2 страниц(ы) »
Доступно только на Essays.club