Гармоникалық тербелістер

Тербелістер уақыт өте келе белгілі бір қайталанумен сипатталатын процестер деп аталады. Тербелмелі процестер табиғатта және техникада кең таралған, мысалы, сағат маятникінің тербелісі, айнымалы электр тогы және т.б. маятниктің тербелмелі қозғалысы кезінде масса центрінің координаты өзгереді, айнымалы ток жағдайында кернеу мен ток тербелісі болады. Тербелістердің физикалық табиғаты әртүрлі болуы мүмкін, бірақ әртүрлі тербелмелі процестер бірдей сипаттамалармен және бірдей теңдеулермен сипатталады. Механикалық тербелістерді қарастырыңыз.

Гармоникалық тербелістер.

Гармоникалық тербелістер тербелістер деп аталады, онда өзгеретін шама синус (косинус) заңына сәйкес өзгереді.

Салмағы р салмағы тік серіппеге ілінсін, оның ұзындығы табиғи күйде тең болады . Жүк сәл төмен қарай тартылып, содан кейін босатылады. Көктемнің массасы мен ауа кедергісін елемей, жүктің қозғалыс заңын табамыз.

Шешім

Біз ох осін жүктің суспензия нүктесі арқылы өтетін тік сызыққа бағыттаймыз. O координатасының шығу тегі Тепе-теңдік жағдайында, яғни жүктің салмағы серіппенің кернеу күшімен теңестірілетін нүктеде таңдалады.

Қазіргі уақытта серіппенің ұзаруын, ал ст—статикалық ұзаруды, яғни созылмаған серіппенің ұшынан тепе-теңдік жағдайына дейінгі қашықтықты білдіреді. Содан кейін st+X, немесе st=x.

Біз Ньютонның екінші заңынан дифференциалдық теңдеуді аламыз: F=ma, мұндағы m=P / g-Жүктің массасы а - қозғалыс үдеуі және F-жүкке қолданылатын күштердің эквивалентті күші. Бұл жағдайда нәтиже серіппенің кернеу күші мен ауырлық күшінен тұрады.

Гук заңы бойынша серіппенің созылу күші оның созылуына пропорционалды: Fupr=-с.с., мұндағы с – тұрақты пропорционалдылық коэффициенті серіппенің қаттылығы деп аталады.

Тепе-теңдік жағдайында тепе-теңдік күші серіппенің тартылу күші дене салмағымен теңестірілгендіктен, P= сст. өрнекті Р дифференциалдық теңдеуге ауыстырамыз және X арқылы -ст -қосындысын алмастырамыз, осындай теңдеуді аламыз:

немесе с/m ді k2 арқылы алмастыру:

(1)

Алынған теңдеу жүктің еркін тербелістерін анықтайды. Ол гармоникалық осциллятор теңдеуі деп аталады. Бұл тұрақты коэффициенттері бар екінші ретті сызықтық дифференциалдық теңдеу. Оның сипаттамалық теңдеуі:

арқылы:

Шешімнің физикалық мағынасын түсіну үшін жаңа ерікті тұрақтыларды енгізу арқылы оны басқа пішінге келтіру ыңғайлы. -ға көбейту және бөлу арқылы:

Гармоникалық тербелістердің графигі:

Осылайша, жүктеме тепе-теңдік жағдайына жақын гармоникалық тербелістер жасайды.

А шамасы тербеліс амплитудасы, ал а аргументі kt+α— тербеліс фазасы деп аталады. t=o кезінде фазаның α шамасы тербелістің бастапқы фазасы деп аталады. Магнитудасы-тербеліс жиілігі. Тербеліс кезеңі мен k жиілігі тек серіппенің қаттылығына және жүйенің массасына байланысты. с = Р/ст = mg/ст болғандықтан, кезең үшін формуланы да алуға болады:

Жүктің жылдамдығы шешімді t бойынша саралау арқылы алынады:

Амплитудасы мен бастапқы фазасын анықтау үшін бастапқы шарттарды орнату қажет. Мысалы, бастапқы сәтте t = 0 жүктің орны x=x0 және жылдамдық =0. Онда , бұл жерде

,

Амплитуда мен бастапқы фазаның формулаларынан табиғи тербелістердің жиілігі мен кезеңінен айырмашылығы, олар жүйенің бастапқы күйіне байланысты болатындығын көруге болады. Бастапқы