Essays.club - Получите бесплатные рефераты, курсовые работы и научные статьи
Поиск

Биом Ньютона

Автор:   •  Май 19, 2019  •  Реферат  •  1,120 Слов (5 Страниц)  •  758 Просмотры

Страница 1 из 5

             

                               Реферат

                       На тему:

          «Биом Ньютона»

 Выполнил:

                                    Тетерин Андрей Тимофеевич  

                                                            ученик 10 класса

                                         МБОУСОШ «Гимназия №17»                                                                        

                                                                                                             

Бином Ньютона — формула для разложения на отдельные слагаемые целой неотрицательной степени суммы двух переменных, имеющая вид

[pic 1]

где [pic 2] — биномиальные коэффиценты, [pic 3] — неотрицательное целое число.

В таком виде эта формула была известна ещё индийским и исламским математикам; Ньютон вывел формулу бинома Ньютона для более общего случая, когда показатель степени — произвольное действительное (или даже комплексное) число. В этом случае бином представляет собой бесконечный ряд (см. ниже).

Доказательство

Доказательство:

Докажем формулу бинома Ньютона индукцией по n:

База индукции: [pic 4]

[pic 5]

Шаг индукции: Пусть утверждение для [pic 6] верно:

[pic 7]

Тогда надо доказать утверждение для [pic 8]:

[pic 9]

Начнём доказательство:

[pic 10]

Извлечём из первой суммы слагаемое при [pic 11]

[pic 12]

Извлечём из второй суммы слагаемое при [pic 13]

[pic 14]

Теперь сложим преобразованные суммы:

[pic 15]

[pic 16]

Что и требовалось доказать.

Обобщения

Формула бинома Ньютона является частным случаем разложения функции [pic 17] в ряд Тейлора:

[pic 18],

где r может быть комплексным числом (в частности, отрицательным или вещественным). Коэффициенты этого разложения находятся по формуле:

[pic 19]

При этом ряд

[pic 20].

сходится при [pic 21].

В частности, при [pic 22] и [pic 23] получается тождество

[pic 24]

Переходя к пределу при [pic 25] и используя  замечательный предел [pic 26], выводим тождество

[pic 27][pic 28]

которое именно таким образом было впервые получено Эйлером.

Мультиномиальная теорема

Бином Ньютона может быть обобщен до полинома Ньютона — возведения в степень суммы произвольного числа слагаемых:

...

Скачать:   txt (7.6 Kb)   pdf (465.1 Kb)   docx (705.4 Kb)  
Продолжить читать еще 4 страниц(ы) »
Доступно только на Essays.club