Ряды и их приложения

Вариант 27

1.

Определить, сходится ли числовой ряд [pic 1] с заданным (под номером [pic 2]) общим членом [pic 3].

[pic 4] 

Решение:

Применим признак сравнения. Сравним с рядом [pic 5]

[pic 6]

Т.е. предел отношения общих членов ряда – конечное число, оба ряда сходятся или расходятся одновременно. Т.к. [pic 7] - обобщенный гармонический ряд с показателем степени [pic 8], заданный ряд [pic 9] по признаку сравнения расходится.

2.

Исследовать на абсолютную и условную сходимость знакочередующийся ряд [pic 10] с заданным (под номером [pic 11]) общим членом [pic 12].

[pic 13] 

Решение:

Т.к. ряд знакочередующийся, для него выполняется первое условие Лейбница.

[pic 14] - члены ряда убывают с ростом [pic 15] по абсолютной величине, т.е. для ряда выполняется второе условие Лейбница.

Т.к. оба условия выполнены, по признаку Лейбница ряд сходится условно.

Абсолютная сходимость:

[pic 16]

Применим признак Даламбера

[pic 17]

Т.к. [pic 18], по признаку Даламбера ряд сходится.

Ответ: ряд сходится абсолютно

3.

Найти радиус сходимости степенного ряда [pic 19] с заданным (под номером [pic 20]) коэффициентом [pic 21]. Проверить сходимость (абсолютную и условную) этого ряда в концах интервала сходимости.

[pic 22] 

Решение:

Радиус сходимости определяется выражением

[pic 23] 

[pic 24]

Т.о. ряд сходится только в одной точке [pic 25] 

4.

Разложить данную (под номером [pic 26]) функцию в ряд Тейлора в заданной точке [pic 27] и определить радиус сходимости полученного ряда.

[pic 28] 

Решение:

[pic 29]

[pic 30]

Ряд Тейлора:

[pic 31] 

Из полученного ряда его коэффициенты [pic 32], тогда радиус сходимости

[pic 33]

Радиус сходимости [pic 34] с центром в точке [pic 35] 

5.

Вычислить приближенное значение (заданной под номером [pic 36]) функции в данной точке [pic 37], используя разложение этой функции в ряд Маклорена и, отбросив все слагаемые, начиная с [pic 38]. Результаты округлить до [pic 39] и сравнить с точным значением функции, вычисленным непосредственно или при помощи таблиц.