Расчетно-графическая работа по "Вычислительной математике"

ФГБОУ ВО «Дальневосточный государственный университет

путей сообщения»

Кафедра: «Высшая математика»

Расчетно-графическая работа №1

По дисциплине: Вычислительная математика

Вариант 1

Выполнил: Василевский А.А.

                        220 гр.

Проверил: Кетов А.В.

Хабаровск, 2016

ЗАДАНИЕ 1. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ПОГРЕШНОСТЕЙ

1. Определить какое равенство точнее:

[pic 1].

Решение:

1. Находим значения данных выражений с большим числом десятичных знаков:

[pic 2]

1. Вычисляем предельные абсолютные погрешности:

[pic 3]

1. Вычисляем предельные относительные погрешности:

[pic 4]

1. Так как [pic 5], то равенство [pic 6] является точнее.

Ответ: равенство [pic 7] является точнее.

1. Округлить сомнительные цифры числа, оставив верные знаки: а) в узком смысле; б) в широком смысле. Определить абсолютную погрешность результата.

а) 22,553 (±0,016);                б) 2,8546; [pic 8].

Решение:

а) Пусть а=22,553 (±0,016). Так как нужно округлить, оставив верные знаки в узком смысле, то абсолютная погрешность [pic 9], тогда в числе 22,553 верными в узком смысле являются цифры 2, 2, 5. По правилам округления найдем приближенное значение числа, сохранив десятые доли:

а1=22,6; [pic 10].

Тогда число цифр нужно уменьшить в приближенном числе до 2:

а2=23; [pic 11].

Тогда обе оставшиеся цифры верны в узком смысле.

б) Пусть а=2,8546; [pic 12]. Тогда [pic 13]. В данном случае верными в широком смысле являются 4 цифры, поэтому округляем, сохранив эти 4 цифры:

а1=2,855; [pic 14].

Значит, в округленном числе 2,855 все 4 оставшиеся цифры верны в широком смысле.

1. Найти предельные абсолютные и относительные погрешности чисел, если они имеют только верные цифры: а) в узком смысле; б) в широком смысле.

а) 0,2387;                б) 42,884.

Решение:

а) Так как все 4 цифры числа а=0,2387 верны в узком смысле, то абсолютная погрешность [pic 15], а относительная погрешность [pic 16].

б) Так как все 5 цифр числа а=42,884 верны в широком смысле, то абсолютная погрешность [pic 17], а относительная погрешность [pic 18].

Задача 2:

1. Вычислить и определить погрешности результата:

[pic 19],

где [pic 20].

Решение:

Находим:

[pic 21];

[pic 22].

Далее имеем

[pic 23].

Тогда

[pic 24];

[pic 25].

1. Вычислить и определить погрешности результата.

[pic 26], где a=4,3(±0,05), b=17,21(±0,02), c=8,2(±0,05), m=12,417(±0,003), n=8,37(±0,005).

(a+b) = (4.3(±0.05)+17.2(±0.02))=21.51(±0.07)

(m-n) = 12.417(±0.003)-8.37(±0.005)=4.047(±0.008)

[pic 27]

*2=(0.0032+0.002+0.006)*2=0.0224[pic 28]

ΔN = 0.224*1899.5123 = 42.5491

1. Вычислить, пользуясь правилами подсчета числа значащих цифр.

[pic 29], где a=1,141, b=3,156, h=1.14.

[pic 30]

[pic 31]

ЗАДАНИЕ 2. КОРНИ НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ

Для заданного нелинейного уравнения:

а) выполнить отделение корней (нахождение интервала [a, b], в котором находится только один корень);

б) с наперед заданной абсолютной погрешностью ε=0,0001 найти на интервале [a, b] корень заданного нелинейного уравнения тремя разными численными методами – методом дихотомии (половинного деления), методом Ньютона (касательных), методом хорд или комбинированным методом секущих и хорд, при этом для каждого метода привести таблицу последовательных приближений (итераций) с результатами промежуточных вычислений;