Примеры вполне непрерывныx операторов в C

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

С 1872 г. по 1897 г. (главным образом в 1872-1884 гг.) Георг Кантор опубликовал ряд работ, в которых были систематически изложены основные разделы теории множеств. Поэтому общепризнано, что теорию множеств создал Георг Кантор. Другая формулировка принадлежит английскому математику Бертрану Расселлу (1872-1970гг.): "Множество суть совокупность различных элементов, мыслимая как единое целое".

Таким образом, под множеством понимается совокупность элементов (объектов) той или иной природы.

Теория операторов – раздел функционального анализа, который изучает свойства непрерывных линейных отображений между нормированными пространствами. Вообще говоря, оператор – это аналог самой обычной функции или матрицы в конечномерном пространстве. Но оператор может действовать и в бесконечномерных пространствах.

 Общая теория операторов возникла в результате развития теории интегральных уравнений, решения задач на нахождение собственных функций и собственных значений для дифференциальных операторов (например, задача Штурма - Лиувилля) и др. разделов классического анализа. Теория операторов установила тесные связи между этими разделами математики и сыграла важную роль в их дальнейшем развитии. Ещё до возникновения общего понятия оператора операторные методы широко применялись в решении различных типов дифференциальных уравнений, обыкновенных и с частными производными. Теория операторов представляет собой основной математический аппарат квантовой механики.

Актуальность изучения данной темы обоснована тем, что практически весь функциональный анализ основан и пронизан понятиями множеств, пространств и операторов.

Цель: изучить основные понятия, связанные с вполне непрерывными операторами, рассмотреть применение и ряд примеров на данную тему.

Задачи:

1. Изучить основные виды множеств, необходимых для описания операторов
2. Рассмотреть линейные, непрерывные и вполне непрерывные операторы, а также их свойства и применение
3. Изучить несколько примеров на вполне непрерывные операторы и дать подробное описание решения данных примеров

1 МНОЖЕСТВА

Мно́жество - один из ключевых объектов математики, в частности, теории множеств и логики. Понятие множества обычно принимается за одно из исходных аксиоматических понятий, то есть не сводимое к другим понятиям, а значит и не имеющее определения. Однако, можно дать описание множества, например в формулировке немецкого математика Георга Кантора: "Под множеством мы понимаем соединение в некое целое M определённых хорошо различимых предметов m нашего созерцания или нашего мышления (которые будут называться элементами множества)".

Множества обычно обозначают большими буквами латинского или другого алфавита: A, B, C, D…, а элементы множества малыми буквами [pic 13]

Если элемент a принадлежит множеству A, то пишут . Если a не принадлежит множеству A, то запись этого утверждения имеет вид .[pic 14][pic 15]

Множества  A и B называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов, то есть равенство  означает, что одно и тоже множество обозначено разными буквами.[pic 16]

Существует два основных способа задания множества. Если элементы множества могут быть перечислены, то такое множество записывают в виде . Эта запись означает, что множество A состоит из элементов   и возможно еще каких-то других. Список элементов может быть и бесконечным. Например, множество    содержит четыре элемента: . Множество  , где   - целое положительное число, состоит из бесконечного числа элементов. [pic 17][pic 18][pic 19][pic 20][pic 21][pic 22]