Көп айнымалы функцияның дифференциялдық есептеуі
Автор: Kira110916 • Май 21, 2018 • Лекция • 7,220 Слов (29 Страниц) • 1,152 Просмотры
1-БИЛЕТ
Көп айнымалы функцияның дифференциялдық есептеуі.
Анықтама: Егер M (x_1,x_2…,x_n ), үшін белгілі бір ереже немесе заң болуы үшін нақты бір сан U сәйкес келсе, онда U M үшін функция деп аталады. Немесе U=f(M), U=(x_1,x_2…,x_n ), n≥2 болса функция көп айнымалы болады.
Z=f(x,y), U=f(x,y,z)
М1. Функцияның анықталу облысын табыңдар:
Z=ln(4+4x-y^2 )
y=lnx, x>0 4+4x-y^2>0
x>y^2/4-1
y=x^2→x=±√y
x=y^2
Кері функция {█(y=x^2⟹x±√y@x=y^2 )┤ анықталу облысының анықтамасы : x>y^2/4-1
параболаның ішінде жатады.
M_1. Z=√(x^2+y^2-1)+ln(4-x^2-y^2)
1) √(x^2+y^2-1) x^2+y^2-1≥0
√(x ) ; x≥0 x^2+y^2≥1 (1).
2) ln(4+4x-y^2 ) 4-x^2-y^2>0
x^2+y^2<4 (2).
x^2+y^2=R^2 Шар ауданы
Анықталу облысы. R=1 және R=2 дөңгелек ортасында орналасқан сақина болада. Жазықтықтың бөлігі.
2. Шектер.
Ан. ∀ξ>0, ∃ δ>0⟹|x-x_0 |<δ, |y-y_0 |<δ
⟹|f(x,y)-A|<ξ,A,z=f(x,y), (x_0,y_0) нүктесіндегі шегі болады.
( lim)┬█(x→0@y→0)f(x,y)=A
M2 lim┬█(x→0@y→0)〖(√(x^2+〖(y-2)〗^2+1)-1)/(x^2+〖(y-2)〗^2 )〗=(0/0)⟹lim┬█(x→0@y→0)〖(√(x^2+〖(y-2)〗^2+1)-1)(√(x^2+〖(y-2)〗^2+1)+1)/((x^2+〖(y-2)〗^2 ) (√(x^2+〖(y-2)〗^2+1)+1) )〗=lim┬█(x→0@y→0)〖(x^2+〖(y-2)〗^2)/((x^2+〖(y-2)〗^2 ) (√(x^2+〖(y-2)〗^2+1)+1) )〗=1/2.
3. Функцияның үздіксіздігі.
Ан. Егер lim┬█(x→0@y→0)〖f(x,y)=f(x_0,y_0 ), z=f(x,y),(x_0 y_0 ).〗 Орындалса үздіксіз болады.
M2 . z=1/(x-y) x-y≠0 y≠0
M2. Көлемі V дөңгелек конустың жасаушысы х, алдыңғы радиусы у көлемін х,у арқылы табыңдар.
V=1/3 πτ^2 h.
h=√(x^2-y^2 )
V=1/3 πy^2 √(x^2-y^2 )
2-БИЛЕТ
Дербес туындылар
x_0,∆x →x_0+∆x
y_0,→y_0
z=f(x,y),M(x_0,y_0 )
∆_x z=f(x_0+∆x_1,y_0 )-f(x_0 )
x_1 –дербес өсімше
Aн. Егер lim┬(∆x →0)〖(∆_x z)/(∆x )〗=f^' (x_0,y_0 ) (1)
х- бойынша алынған дербес өсімшені ∆_x аргумент өсімшесіне қатынасына ∆_x 0-ге ұмтылғандағы шектеулі шегі бар болатын болса, онда ол шекті z=f(x,y) функциясының M(x_0,y_0 ) нүктедегі х бойынша алынған дербес туындысы дп атайды.
∂z- жалғыз өзінің мәні болмайды.
∂z/∂x болса «дзетдх» болып бірге оқылады да, бұл бөлшекті білдірмейді.
x_0,→x_0
y_0;∆y→y_0+∆y
∆_x z=f(x_0,y_0+∆y)-f(x_0,y_0 )
Aн. Егер lim┬(∆x →0)〖(∆_y z)/(∆y )〗=〖f^'〗_y (x_0,y_0 ) (2)
z=f(x,y),M(x_0,y_0 ) , y
белгіліуі: ∂z/∂y , 〖z^'〗_y, 〖f^'〗_y (x,y)
∂u/∂x, ∂u/∂y, ∂u/∂z
〖u^'〗_x,〖 u^'〗_y 〖〖,u〗^'〗_z
〖f^'〗_х (x,y), 〖f^'〗_y (x,y) 〖〖,f〗^'〗_z (x,y)
Мыс: z=x^2-3xy-4y^2-x+2y+1
шешуі:
∂z/∂x=2x-3y-0-1
∂z/∂y=-3x-8y+2
3-БИЛЕТ
Жоғары ретті дербес туындылар
z=f(x,y).
∂z/∂x , ∂/∂x (∂z/∂x)=(∂^2 z)/(∂x^2 ) , ∂/∂y (∂z/∂x)=(∂^2 z)/∂y∂x.
∂z/∂y , ∂/∂y (∂z/∂y)=(∂^2 z)/(∂y^2 ) , ∂/∂x (∂z/∂x)=(∂^2 z)/∂x∂y .
(∂^2 z)/∂y∂x; (∂^2 z)/∂x∂y аралас дербес туындылар.
Егер z=f(x,y) үздіксіз болса, онда (∂^2 z)/∂y∂x = (∂^2 z)/∂x∂y (1) теңдігі орындалады.
z=f(x,y), (f_(x^2)^(,,) (x,y))_x^,=f_(x^3)^(,,,) (x,y)
...