Контрольная работа по "Математике"

Контрольная работа №1

1.09 Решить систему линейных уравнений методом Гаусса и по формулам Крамера. Сделать проверку.

 [pic 1].

Для решения системы по правилу Крамера найдем следующие определители:

[pic 2]

 Так как данный определитель не равен нулю, то данная система имеет единственное решение, а значит система совместна.

[pic 3]

Тогда решение системы находим по формулам:

x = [pic 4] ; y = [pic 5] 

2) Для решения системы методом Гаусса рассмотрим расширенную матрицу системы и приведем ее к треугольному виду:

[pic 6] = [ умножим вторую строчку на 3 и сложим с первой] = [pic 7] 

Т.к. ранг расширенной системы совпадает с рангом системы и равен 2, то система имеет решение.

Тогда получим систему:

[pic 8]

Тогда из системы получим решение:

[pic 9]

Проверка:

[pic 10]

Ответ: х= [pic 11],у= [pic 12]

1.19Решить систему линейных уравнений тремя методами:

А) по формулам Крамера;

Б) методом Гаусса;

В) с помощью обратной матрицы.

[pic 13]

1. Для решения системы по правилу Крамера найдем следующие определители:

 [pic 14]

 Так как данный определитель не равен нулю, то данная система имеет единственное решение, а значит система совместна.

[pic 15]

[pic 16]

[pic 17]

Тогда решение системы находим по формулам:

х1 = [pic 18] = [pic 19]; х2= [pic 20] = [pic 21]; х3 = [pic 22]

2) Для решения системы методом Гаусса рассмотрим расширенную матрицу системы и приведем ее к треугольному виду:

[pic 23] = [ умножим вторую строчку на -2  и сложим с первой,  умножим первую строку на 2 и сложим с третьей] = [pic 24] = [умножим вторую строку на 2 и сложим с третьей  ] = [pic 25].

Т.к. ранг расширенной системы совпадает с рангом системы и равен 3, то система имеет решение.

Тогда получим систему:

[pic 26]

3) Для решения матричным методом нужно рассмотреть матричное уравнение: AX = B, где A = [pic 27], X = [pic 28], B = [pic 29]. Тогда X = A-1B. Найдем матрицу A-1.

Вычислим обратную матрицу [pic 30].

Тогда   A-1 = [pic 34]

Получим  

X = A-1B =[pic 35][pic 36]= [pic 37].

Ответ: х1 =  0; х2=  1; х3 = [pic 38]

1.29 При каких А и В система имеет бесчисленное множество решений? Найдите эти решения.

[pic 39]

Определитель матрицы должен быть равен нулю:

[pic 40]

Для решения системы методом Гаусса рассмотрим расширенную матрицу системы и приведем ее к треугольному виду:

[pic 41] = [ умножим первую строчку на -12, вторую на 13 и сложим их, умножим первую строку на -7, третью на 13 и сложим их] = [pic 42] = [умножим вторую строку на 9, третью на 5  и сложим их] = [pic 43].

Тогда , если [pic 44], то система будет иметь бесконечное множество решений.

[pic 45] .Значит, при А=7, В=7 система имеет бесчисленное множество решений .

[pic 46]

Тогда получим систему: [pic 47]. Пусть [pic 48], тогда [pic 49], [pic 50]

Ответ: [pic 51],[pic 52],[pic 53],А=7, В=7

1.39 Даны вектора [pic 54] и [pic 55]. Найти [pic 56] и длину [pic 57].

Векторное произведение векторов [pic 58]  , заданных в ортонормированном базисе [pic 59] , выражается формулой:

[pic 60]

[pic 61]

Скалярное произведение выражается формулой:

[pic 62]

[pic 63]

Длина вектора [pic 64] равна  [pic 65]

[pic 66]

Ответ: [pic 67] или [pic 68], [pic 69],[pic 70]

1.49 Написать уравнение плоскости, проходящей через точки М(3,1,1), К(4,0,0), L(1,1,2) в виде Ax+By+Cz+D=0.

[pic 71] или [pic 72]