Контрольная работа по "Высшей математике"

                                        Вариант 28

        Задание 3. Решить систему уравнений: а) по формулам Крамера; б) с помощью обратной матрицы

        1.3    [pic 1]

а) по формулам Крамера

Найдем определитель[pic 2] по правилу треугольника:

[pic 3]

Найдем определитель[pic 4] и значения [pic 5],[pic 6],[pic 7]

[pic 8]

[pic 9]

[pic 10]

[pic 11]

Формулы Крамера

[pic 12]

б) с помощью обратной матрицы

Для нахождения решения системы с помощью обратной матрицы запишем систему уравнений в матричной форме [pic 13]. Решение системы в матричной форме имеет вид [pic 14] По формуле [pic 15] находим обратную матрицу [pic 16] (она существует, так как [pic 17]

Находим матрицу, состоящую из алгебраических дополнений элементов исходной матрицы:

[pic 18]

[pic 19]

Таким образом получаем матрицу:

[pic 20]

Полученную матрицу транспонируем:

[pic 21]

Тогда решение системы:

[pic 22]

Итак,   [pic 23]

                                                                                 -  

Задание 5.  Дана квадратичная форма L (x): а) записать соответствующую ей матрицу; б) установить знакоопределенность квадратичной формы L (х) по критерию Сильвестра

    -

L(х)= [pic 24] + 4x1x3 + 4x2x3 – 4х [pic 25]

Решение. а)Составим матрицу этой квадратичной формы:

M = [pic 26]

Вычислим ее угловые миноры:

Δ1 = 3 > 0,

Δ2 = [pic 27] = 3 – 4 = –1 < 0,

Δ3 = [pic 28] = 15 + 16 + 16 – 16 – 12 – 20 = –1 < 0.

    -

L(х)= [pic 29] + 4x1x3 + 4x2x3 – 4х = -1[pic 30]

б) Квадратичная форма A(x, x) не является положительно определенной, т. к. Δ2 < 0, и отрицательно определенной не является, т. к. Δ1 > 0, т.о. она знакопеременная.

Задание 2. Доказать тождество AА-1=Е, определив матрицу А-1 с помощью  алгебраических дополнений[pic 31]

А=                                 [pic 32]

Вычислим определитель матрицы А, разложив его по элементам третьего столбца:

А = [pic 33] =0.((-1).3-1.2=16[pic 34]

Определитель отличен от нуля, так что матрица А обратима.

Найдем матрицу из алгебраических дополнений:

[pic 35]

А11 =( -1)1+1[pic 36] = 3.0-1.(-2)=0

А12 =( -1)1+2[pic 37] = (-1).(1)-1.(-2)=0

А13 =( -1)1+3[pic 38] = (-1).(3)-1.(-2)=-8

А21 =( -1)2+1[pic 39] = (-1).(3)-1.(-3)=-6

А22 =( -1)2+2[pic 40] = (2).(0)-2.(0)=4

А21 =( -1)2+3[pic 41] = (-1).(3)-1.(-3)=-6