Контрольная работа по "Алгебре"
Автор: babaha • Декабрь 15, 2023 • Контрольная работа • 1,112 Слов (5 Страниц) • 92 Просмотры
Задание 1.
а) Вычислите матрицу А; б) найдите матрицу, обратную к матрице А.
· + 4 · .[pic 1][pic 2][pic 3]
Решение.
а) 1) Найдем матрицу:
· = = = [pic 4][pic 5][pic 6][pic 7]
2) Найдем матрицу:
4 · = [pic 8][pic 9]
3) Найдем матрицу А:
А = + = [pic 10][pic 11][pic 12]
б) 1) Найдем определитель матрицы А:
|А| = = 20·12·23 + 19·19·20 + 25·13·25 - 20·12·25 - 25·19·23 - 13·19·20 = -1000[pic 13]
2) Так как |А|=-1000≠0, значит, матрица А обратима.
3) Найдем алгебраические дополнения элементов матрицы А:
А11 = (-1)1+1· = 29, А12 = (-1)1+2· = -195, А13 = (-1)1+3· = 85,[pic 14][pic 15][pic 16]
А21 = (-1)2+1· = -112, А22 = (-1)2+2· = -40, А23 = (-1)2+3· = 120,[pic 17][pic 18][pic 19]
А31 = (-1)3+1· = 61, А32 = (-1)3+2· = 245, А33 = (-1)3+3· = -235.[pic 20][pic 21][pic 22]
4) Итак, A-1= · T = · [pic 23][pic 24][pic 25]
Ответ: а) А = ; б) A-1 = .[pic 26][pic 27]
Задание 2.
Решите систему уравнений методом Гаусса, Крамера и обратной матрицы.
[pic 28]
I. Методом Гаусса:
Из коэффициентов уравнений и свободных членов, входящих в запись системы, составим расширенную матрицу. Проведем элементарные преобразования над расширенной матрицей системы:
~ ~ ~ ~ ~ ~ [pic 29][pic 30][pic 31][pic 32][pic 33][pic 34][pic 35]
Опишем каждый переход от матрицы к следующей матрице:
(1) – 1-ую строку делим на 3;
(2) – от 2-ой строки отнимаем 1-ую, умноженную на 2; от 3-ей строки отнимаем 1-ую, умноженную на 3;
(3) – 2-ую строку делим на -;[pic 36]
(4) – от 1-ой строки отнимаем 2-ую строку, умноженную на ; к 3-ей строке добавляем 2-ую строку, умноженную на 1;[pic 37]
(5) – 3-ую строку делим на 2;
(6) – к 1-ой строке добавляем 3-юю строку, умноженную на 5; от 2-ой строки отнимаем 3-юю строку, умноженную на 3
Получаем:
x = 14,25 ; y = -6,25 ; z = 1,25
II. Методом Крамера:
1) Составим и вычислим определитель ∆ матрицы А:
∆ = = -8[pic 38]
Так как ∆ ≠ 0, то метод Крамера применим.
2) Составим и вычислим определители ∆x, ∆y, и ∆z (определитель xi получен из определителя ∆ заменой i-го столбца на столбец свободных членов системы уравнений):
∆x = , ∆y = , ∆z = .[pic 39][pic 40][pic 41]
Получим, что
∆x = -114 , ∆y = 50, , ∆z = -10 .
3) Получаем решение системы:
x = = = 14,25 , y = = = -6,25 , z = = = 1,25 .[pic 42][pic 43][pic 44][pic 45][pic 46][pic 47]
lll. Методом обратной матрицы:
1) Систему линейных уравнений можно записать в матричном виде AX=B, где
А = , Х = , B = .[pic 48][pic 49][pic 50]
Если матрица А обратима, то решение системы найдем в виде
X = A-1 · B.
2) Составим и вычислим определитель ∆ матрицы А:
∆ = = -8[pic 51]
Так как |А| = ∆ = -8 ≠ 0, то метод обратной матрица применим.
3) Найдем А-1 :
А11 = (-1)1+1· = 18, А12 = (-1)1+2· = -10, А13 = (-1)1+3· = 2,[pic 52][pic 53][pic 54]
А21 = (-1)2+1· = -1, А22 = (-1)2+2· = -3, А23 = (-1)2+3· = 3,[pic 55][pic 56][pic 57]
...