Жиындар теориясы мен математикалық логика элементтері

1 Жиындар теориясы мен математикалық логика элементтері

1.1 Жиындар теориясының элементтері

«Жиын» ұғымына анықтама беруге болмайды, былайша айтқанда, жиын ұғымы, басқа жай ұғымдар арқылы анықтауға келмейтін, математиканың негізгі ұғымдарының бірі болып табылады. Жиын деген сөзден белгілі бір қасиеттерге ие болып, белгілі бір заңмен біріккен әр алуан заттарды (объектілерді) түсінуге болады: объектілер жиыны. Бұдан, осы объектілер берілген жиынға тиісті деп немесе олар осы объектінің элементтері болады деп айтады.

Мысалы, факультеттегі 2 курс студенттерінің қандайда бір математиктер тобы, 2 курс математиктер жиынын құрайды деп айта аламыз. Натурал сандар жиынтығында жұп сандар жиыны бөлінеді. Сондықтан біз сандар, жазықтық нүктелері, геометриялық фигуралар (нүктелер, үшбұрыштар және т.б.), [pic 1] кесіндісінде анықталған үздіксіз функциялар және басқадай жиындары туралы айта аламыз.

Жиынды құрап тұрған заттарды жиынның элементтері деп атайды. Жиындарды үлкен әріптермен: [pic 2] оның элементтерін кіші әріптермен белгілеу әдетке айналған.

Тиістілік қатынас үшін [pic 3] белгісін, ал тиісті еместік үшін [pic 4] белгісін   пайдалану қабылданған. [pic 5] өрнегі «[pic 6] объектісі [pic 7] жиынының элементі болып табылады» немесе «[pic 8] элементі [pic 9] жиынына тиісті» деп оқылады. [pic 10] өрнегі «[pic 11] элементі [pic 12] жиынының элементі емес» дегенді білдіреді.

[pic 13] жиынының барлық элементтері [pic 14] болса, онда

[pic 15]                                           (1.1)

деп белгілейді. Мұндай жиынды шектеулі элементті жиын деп атайды. Себебі, элементтің саны белгілі.

Мысал 1.1.1 [pic 16] жиынның 6 элементі бар.

Үнемі кезігетін сандар жиыны: [pic 17] - натурал сандар жиыны; [pic 18] - бүтін сандар жиыны.

Жиынның барлық элементін анықтайтын ортақ қасиетін пайдаланып, жиынды былайша жазуға болады:

[pic 19]                                                (1.2)

Оқылуы: «[pic 20] предикаты ақиқат болатын барлық [pic 21] элементтерінің жиыны», мұндағы [pic 22] - берілген жиынның барлық элементтерін сипаттайтын қасиет.

Мысал 1.1.2. [pic 23] - 3-ке бөлінетін бүтін сандар жиыны; [pic 24] - 2-ден артық және [pic 25] санынан кем нақты сандар жиыны; [pic 26] - рационал сандар жиыны; [pic 27] жиынын нақты сандар жиыны деп атайды.

Анықтама. Бірде-бір элементі болмайтын жиын бос жиын деп аталады және ол ∅ белгісімен белгіленеді. Бос жиын кез келген қайшылықты қасиетпен анықталады, мысалы

∅[pic 28],

жиындар аймағында ол нөлдік жиын рөлін атқаратын болады.

Анықтама. [pic 29] және [pic 30] жиындары үшін [pic 31] жиынының кез келген элементі [pic 32] жиынының да элементі болатын болса, онда [pic 33] жиынын [pic 34] жиынының ішкі жиыны деп атайды: [pic 35].

[pic 36] - белгісін қамтылу белгісі деп аталады. Анықтаманы математика тілінде былайша жазамыз:

[pic 37]                                (1.3)

[pic 38] белгілеу де қолданылады. Бұл [pic 39] жиыны [pic 40] жиынының ішкі жиыны немесе [pic 41] жиыны [pic 42] жиынына тең болады дегенді білдіреді.

Мысал 1.1.3

а) [pic 43], [pic 44] жиындары үшін [pic 45] болады;

ә) [pic 46], [pic 47] жиындар үшін [pic 48].

Анықтама. [pic 49] және [pic 50] жиындары үшін [pic 51] және [pic 52] шарттар орындалса, онда [pic 53] және [pic 54] жиындары тең жиындар деп аталады: [pic 55].

Мысал 1.1.4. [pic 56], [pic 57] жиындары тең.