Елементи спектральної теорії лінійних операторів
Автор: elenagolovata • Май 29, 2018 • Курсовая работа • 7,036 Слов (29 Страниц) • 590 Просмотры
ТЕРНОПІЛЬСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ ПЕДАГОГІЧНИЙ
УНІВЕРСИТЕТ ІМЕНІ ВОЛОДИМИРА ГНАТЮКА
Кафедра математики та методики її навчання
КУРСОВА РОБОТА
на тему:
Елементи спектральної теорії лінійних операторів
студентки IІІ курсу групи М - 32
напрям підготовки 6. 040201
cпеціaльнocті «Мaтемaтикa»
Гетманюк Оксани Іванівни
Науковий керівник
Лотоцький Володимир Андрійович
Національна шкала____________________
Кількість балів:_______ Оцінка ECTS:____
Тернопіль – 2015
Зміст
РОЗДІЛ І. Власні значення і власні вектори лінійних операторів
- Означення і основні властивості ..................................................... 3
- Власні значення і власні вектори лінійних операторів в скінченно вимірних просторах ........................................................................... 4
- Власні значення і власні вектори цілком неперервних операторів в скінченно-вимірних просторах..........................................................6
- Власні значення і власні вектори лінійних цілком неперервних самоспряжених операторів ……………..................................................8
РОЗДІЛ ІІ. Резольвентна множина і спектр лінійного оператора
2.1.Основні означення .............................................................................11
2.2. Спектральний радіус лінійного оператора .....................................13
2.3. Резольвента як аналітична оператор-функція ................................16
РОЗДІЛ ІІІ. Інтегрування абстрактних функцій в просторі Банаха
3.1. Існування інтеграла Рімана абстрактної неперервної функції.......18
3.2. Властивості інтеграла Рімана ...........................................................20
3.3. Абстрактні функції обмеженої варіації і інтеграл Стільтьєса........22
3.4. Невласні і криволінійні інтеграли ................................................... 25
РОЗДІЛ ІV. Спектральний розклад самоспряжених операторів
4.1. Спектральна функція самоспряженого оператора……………………….27
4.2. Існування спектральної функції довільного самоспряженого оператора………………………………………………………………………..28
4.3. Спектральний розклад необмежених самоспряжених операторів……………………………………………………………………....30
РОЗДІЛ І. Власні значення і власні вектори лінійних операторів
1.1.Означення і основні властивості
Нехай Х - деякий лінійний простір і А – лінійний оператор, визначений в Х, з областю визначення D(A).
Означення
Число λ називається власним значенням оператора А, якщо існує вектор х≠0, х D(A) такий,що [pic 1]
Ах=λх (1)
При цьому вектор х називається власним вектором оператора А, якому відповідає власне значення λ.
Власні значення і власні вектори лінійних операторів відіграють важливу роль в різних областях математики. Нижче наведемо різного роду приклади. Відмітимо поки, що не кожен лінійний оператор має власні значення.
ПРИКЛАД: В лінійному просторі розглянемо лінійний оператор А, що задається матрицею[pic 2]
[pic 3]
Оператор А здійснює поворот площини на відносно початку координат і геометрично зрозуміло, що А в даному випадку не має власних векторів.[pic 4]
Нехай х – власний вектор А, який відповідає власному значенню λ. Тоді з (1) випливає, що αх, де α≠0 теж є власним вектором оператора А, якому відповідає число λ.
ТЕОРЕМА
Власні вектори лінійного оператора, яким відповідають різні його власні значення є лінійно незалежними.
...