Доказательство первой теоремы Вейерштрасса, данное А. Лебегом
Автор: zhigal96 • Май 8, 2018 • Реферат • 1,632 Слов (7 Страниц) • 721 Просмотры
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ
УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ « ГРОДНЕНСКИЙ
ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ ЯНКИ КУПАЛЫ»
ФАКУЛЬТЕТ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ
РЕФЕРАТ НА ТЕМУ:
«Доказательство первой теоремы Вейерштрасса, данное
А. Лебегом»
Автор работы К.Я.Жигалова
МАТ(НПД)-161
Гродно, 2017
Формулировка теоремы
- (Теорема 1) Если - функция действительного переменного, непрерывная в конечном и замкнутом промежутке , то, как бы ни было мало наперед заданное положительное число , можно указать такой полином чтобы для всех значений переменной из рассматриваемого промежутка выполнено было неравенство[pic 1][pic 2][pic 3][pic 4][pic 5]
(1)[pic 6]
- (Теорема 1’) Всякая действительная функция , непрерывная в конечном замкнутом промежутке , разлагается в этом промежутке в равномерно сходящийся ряд полиномов.[pic 7][pic 8]
Пусть последовательность положительных чисел, имеющая нуль:[pic 9]
[pic 10]
Согласно теореме 1 можно подобрать такие полиномы , что для будут выполнены неравенства[pic 13][pic 11][pic 12]
[pic 14]
Отсюда следует, что:
равномерно относительно всех значений из рассматриваемого промежутка. Другими словами, ряд полиномов:[pic 15]
[pic 16]
равномерно сходится в промежутке и представляет функцию . [pic 17][pic 18]
Таким образом, из теоремы 1 следует теорема 1’.
Обратно, допустим, что функция в промежутке ( разложена в равномерно сходящийся ряд полиномов:[pic 19][pic 20]
[pic 21]
Это значит, что как бы ни было мало , можно выбрать настолько большое число (целое положительное), что для всех значений из данного промежутка будет иметь место неравенство:[pic 22][pic 23][pic 24]
[pic 25]
отсюда, если положим
[pic 26]
и следует теорема 1.
Доказательство теоремы, данное А. Лебегом( было опубликовано в 1898 г. Основная идея состояла в замене данной непрерывной кривой вписанной в нее ломаной.)
[pic 27]
- Функция , определяемая равенствами [pic 29][pic 28]
разлагается в равномерно сходящийся ряд
полиномов в промежутке .[pic 30]
Известно из общей теории рядов Тейлора, что функция при разлагается в ряд, равномерно сходящийся, как бы ни было мало , в промежутке :[pic 31][pic 32][pic 33][pic 34]
[pic 35]
Легко убедиться, что сходимость, и притом равномерная, имеет место в данном случае и в
замкнутом промежутке .[pic 36]
В самом деле, остаточный член разложения Тэйлора
[pic 37]
может быть написан в виде интеграла[pic 38]
что в нашем случае :
[pic 39]
Отсюда, принимая во внимание, что при есть неотрицательная и невозрастающая функция , так что , следует:[pic 40][pic 41][pic 42][pic 43]
[pic 44]
и правая часть неравенства, не зависящая теперь от , стремится к нулю при бесконечном возрастании ; следовательно [pic 45][pic 46]
[pic 47]
(равномерно для всех из промежутка ).[pic 48][pic 49]
Полагая , получим разложение[pic 50]
(2)[pic 51]
равномерно сходящееся для значений , удовлетворяющих неравенству[pic 52]
...