Дискретті математика және математикалық логика пәнінен емтихан сұрақтары

Дискретті математика және математикалық логика пәнінен емтихан сұрақтары

1.Жиын анықтамасы. Жиындарға амалдар қолдану.

Математикада XIX ғасырдың екінші жартысында жиын ұғымы пайда болды. Жиын ұғымының математикаға енуі жиын теориясын қалыптастырды. Жиын теориясының негізін қалаушы неміс математигі Георг Кантор (1845- 1918) болды. Жиындар теориясы үш алғашқы түсінікке тіреледі: 1. жиын; 2. элемент; 3. тиістілік. І. «Жиын» ұғымы алғашқы және анықталмайтын болып табылады. Жиынды қандай да бір ортақ қасиеттің (қандай да бір жалпы белгілермен біріктірілген) қамтитын қандай да бір элементтер жиынтығы ретінде қарастыруға болады. Жиынды құрайтын кез келген табиғаттың объектілерін (сандар, адамдар, заттар және т.б.) оның элементтері деп атайды. Мысалы, Томирис деген студент IV курс студенттер жиынының, наурыз – жылдағы айлар жиынының элементі және т.т. болып табылады. Жиын латын алфавитінің бас әріптерімен, ал олардың элементтері кіші әріптермен белгіленеді. 𝑎 ∈ 𝑅 жазбасы 𝑎 элементінің 𝑅 жиынының элементі болып табылатынын, яғни 𝑎 элементі 𝑅 жиынына тиісті екенін білдіреді. Кері жағдайда, 𝑎 элементі 𝑅 жиынына тиісті емес болса, 𝑎 ∉ 𝑅 түрінде жазылады

2.Жиындарға амалдар қолдану

2.3. Жиындарға қолданылатын операциялар Жиындармен жұмыс істеу үшін келесі операциялар қолданылады: қосу (біріктіру), көбейту (қиылысу), айырым, симметриялы айырым және толықтауыш. Анықтама 1. 𝐴 жиынына да, 𝐵 жиынына да тиісті элементтерден тұратын жиынды 𝐴 және 𝐵 жиындарының қиылысуы (көбейтіндісі, 𝐴 ∩ 𝐵 түрінде белгіленеді) деп айтады. Сонымен, 𝑐 ∈ 𝐴, және 𝑐 ∈ 𝐵 болғанда ғана 𝑐 ∈ 𝐴 ∩ 𝐵 немесе 𝐶 = {𝑐|𝑐 ∈ 𝐴 және 𝑐 ∈ 𝐵} түрінде жазылады

Коммутативті:   А ∪ В = B ∪ A;        А ∩ В = B ∩ A

       2.  Ассоциативті:        (А ∪ В) ∪ С = А ∪ (В ∪ С);

                                                 (А ∩ В) ∩ С = А ∩ (В ∩ С).

       3.  Дистрибутивті:    А ∩ (В ∪ С) = (А ∩ В) ∪ (А ∩ С)

                          А ∪ (В ∩ С) = (А ∪ В) ∩  (А ∪ С).

       4. Идемпотентті:    А ∪ A = A;                 А ∩ A = A

       5.   А ∪ ∅ = A;              А ∩ ∅ = ∅;                                                  

             А ∪ U = U;               A ∩ U = A.        

3.Жиындардың бірігуі.

Анықтама 2. Не 𝐴, не 𝐵 жиынына тиісті элементтерден тұратын жиынды 𝐴 және 𝐵 жиындарының біріктіруі (қосындысы, 𝐴 ∪ 𝐵 түрінде белгіленеді) деп айтады. Сонымен, не 𝑐 ∈ 𝐴, не 𝑐 ∈ 𝐵 болғанда ғана 𝑐 ∈ 𝐴 ∪ 𝐵. немесе 𝐶 = {𝑐|𝑐 ∈ 𝐴 немесе 𝑐 ∈ 𝐵} түрінде жазылады.