Действия над комплексными числами
Автор: kexus • Июнь 6, 2021 • Реферат • 25,673 Слов (103 Страниц) • 344 Просмотры
1. Действия над комплексными числами
Рассмотрим комплексное число, записанное в алгебраической форме:
z = 𝗑 + i𝑦,
где 𝑥 𝑦 . Число 𝑥 называется действительной частью комплексного числа и обозначается 𝑧, число 𝑦 называется мнимой частью комплексного числа и обозначается 𝑧, через i обозначается мнимая единица, удовлетворяющая свойству: i2 = −1.
Под действиями над комплексными числами подразумеваются арифметиче- ские операции, которые с ними можно производить: сложение, вычитание, ум- ножение, деление, возведение в целую степень, извлечение корня [3, c.10-17].
При сложении (вычитании) комплексных чисел, отдельно складывают (вычитают) действительные части и мнимые части этих чисел.
Например, если 𝑧1 = 3 + 2i, 𝑧2 = −5 − i, 𝑧3 = 3i − 4, то
𝑧1 + 𝑧2 − 𝑧3 = (3 + 2i) + (−5 − i) − (3i − 4) =
= (3 − 5 + 4) + i(2 − 1 − 3) = 2 − 2i.
Заметим, что результатом любого действия является опять же комплексное число, записанное в алгебраической форме:
𝑧 = 𝑥 + i𝑦.
Умножают комплексные числа так же, как двучлены, учитывая при этом, что i2 = −1. Так, например,
(3 − 5i)( 2 + 3i) = 6 + 9i − 10i − 15i2 = (6 + 15) + (9 − 10)i = 21 − i.
При делении комплексного числа 𝑧1 на число 𝑧2 = 𝑥 + i𝑦 0 следует чис-
литель и знаменатель дроби 𝑧
𝑧2
умножить на число 𝑧 2 = 𝑥 − i𝑦 (комплексно-
сопряжённое к числу 𝑧 ). Тогда в знаменателе дроби 𝑧 ·𝑧̅2[pic 1]
𝑧2·𝑧̅2
получим действи-
тельное число 𝑧2𝑧2 = 𝑥2 + 𝑦2.
Например, если 𝑧1 = 3 − i, 𝑧2 = 1 + 2i, то
𝑧1 𝑧1𝑧2 (3 − i)(1 − 2i) 3 − 6i − i + 2i2 (3 − 2) + (−6 − 1)i[pic 2]
𝑧2 = 𝑧2𝑧2 = (1 + 2i)(1 − 2i) = 1 + 4 = 5 =[pic 3][pic 4][pic 5][pic 6][pic 7]
= 1 − 7i 1 7
[pic 8][pic 9][pic 10]
5 = 5 − 5 i.
Если комплексное число z задано в алгебраической форме, то при возведе- нии его в натуральную степень можно использовать формулу бинома Ньюто- на:
(𝑥 + i𝑦)𝑛 = 𝑛 𝑘𝑥𝑛−𝑘(i𝑦)𝑘, где 𝑘 = 𝑛! .
𝑘=0 𝑛
𝑛 𝑘!(𝑛−𝑘)!
При малых из формулы бинома Ньютона получаются знакомые формулы со- кращённого умножения:
(𝑎 ± 𝑏)2 = 𝑎2 ± 2𝑎𝑏 + 𝑏2; (𝑎 ± 𝑏)3 = 𝑎3 ± 3𝑎2𝑏 + 3𝑎𝑏2 ± 𝑏3.
Пример 1.1. Найти 𝑧2𝑧3, если 𝑧1 = 2 + 3i, 𝑧2 = 2 − i.
1 2
Решение. Будем производить вычисления по действиям: 1) 𝑧2 = (2 + 3i)2 = 4 + 12i + 9i2 = −5 + 12i;[pic 11]
2) 𝑧3 = (2 − i)3 = 8 − 3 · 4 · i + 3 · 2 · i2 − i3 = 8 − 12i − 6 + i = 2 − 11i;[pic 12]
3) 𝑧2𝑧3 = (−5 + 12i)(2 − 11i) = −10 + 55i + 24i − 132i2 =
1 2
= (−10 + 132) + (55 + 24)i = 122 + 79i.
Ответ: 122 + 79i.
Корнем n-ой степени из комплексного числа 𝑧 называют число 𝜔 такое, что 𝜔𝑛 = 𝑧.
Представим комплексное число 𝜔 в алгебраической форме
𝜔 = 𝑥 + i𝑦,
возведём в степень . Получим
𝑧 = 𝜔𝑛 = (𝑥 + i𝑦)𝑛.
Комплексные числа равны, тогда и только тогда, когда равны их действитель- ные и мнимые части, поэтому получим систему:
...