Багатовимірне шкалювання

ЗМІСТ

ВСТУП……………………...…………………………………..……………..…   3

1. ЛОГІКА БАГАТОМІРНОГО ШКАЛЮВАННЯ………………………....4
2. ОБЧИСЛЮВАЛЬНІ МЕТОДИ……………………………………….…...5

1.  Заходи якості відображення………………………………………………5
2.  Діаграма Шепарда……………………………………………...………….6

2.3 Задання розмірності користувачем ……………………………...............7

1. ІНТЕРПРЕТАЦІЯ ОСЕЙ  КООРДИНАТ……………………………….10

ВИСНОВКИ……………………………..……………………………………….12

СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ….………………………………….   13

ВСТУП

Багатовимірне шкалювання (БШ) можна як альтернативу факторному аналізу. Метою останнього, взагалі кажучи, є пошук та інтерпретація "латентних (тобто безпосередньо не спостерігаються) змінних", що дають можливість користувачеві пояснити подібності між об'єктами, заданими точками у вихідному просторі ознак. Для визначеності та стислості, далі, як правило, говоритимемо лише про подібності об'єктів, маючи на увазі, що на практиці це можуть бути відмінності, відстані чи ступеня зв'язку між ними. У факторному аналізі подібності між об'єктами (наприклад, змінними) виражаються за допомогою матриці коефіцієнтів кореляцій. У методі БШ додатково до кореляційних матриць, як вихідні дані можна використовувати довільний тип матриці подібності об'єктів. Таким чином, на вході всіх алгоритмів БШ використовується матриця, елемент якої на перетині її i-го рядка та j-го стовпця, містить відомості про попарну подібність аналізованих об'єктів (об'єкта [i] та об'єкта [j]). На виході алгоритму БШ виходять числові значення координат, які приписуються кожному об'єкту в деякій новій системі координат (у "допоміжних шкалах", пов'язаних з латентними змінними, звідки і назва БШ), причому розмірність нового простору ознак істотно менша за розмірність вихідного (за це власне і йде боротьба).

1. ЛОГІКА БАГАТОМІРНОГО ШКАЛЮВАННЯ

Логіку БШ можна проілюструвати на наступному прикладі. Припустимо, що є матриця попарних відстаней (тобто схожості деяких ознак) між великими американськими містами. Аналізуючи матрицю, прагнуть розташувати точки з координатами міст у двовимірному просторі (на площині), максимально зберігши реальні відстані між ними. Отримане розташування точок на площині згодом можна використовувати як наближену географічну карту США.

У загальному випадку метод БШ дозволяє таким чином розташувати "об'єкти" (міста в нашому прикладі) у просторі деякої невеликої розмірності (у даному випадку вона дорівнює двом), щоб достатньо адекватно відтворити відстань між ними. В результаті можна "виміряти" ці відстані в термінах знайдених змінних латентних. Так, у нашому прикладі можна пояснити відстані у термінах пари географічних координат Північ/Південь та Схід/Захід.

Орієнтація осей координат. Як і Факторному аналізі, орієнтація осей може бути обрана довільною. Повертаючись до нашого прикладу, можна повертати карту США довільним чином, але відстані між містами при цьому не зміняться. Таким чином, остаточна орієнтація осей на площині або в просторі є більшою мірою результатом змістовного рішення в конкретній предметній області (тобто рішенням користувача, який вибере таку орієнтацію осей, яку найлегше інтерпретувати). У прикладі можна було б вибрати орієнтацію осей, що відрізняється від пари Північ/Південь і Схід/Захід, проте остання зручніша, як найбільш осмислена і природна.

1. ОБЧИСЛЮВАЛЬНІ МЕТОДИ

2.1 Заходи якості відображення

Багатомірне шкалювання - це не просто певна процедура, а скоріше спосіб найбільш ефективного розміщення об'єктів, що приблизно зберігає спостережувані між ними відстані. Іншими словами, БШ розміщує об'єкти у просторі заданої розмірності та перевіряє, наскільки точно отримана конфігурація зберігає відстані між об'єктами. Говорячи більш технічною мовою, БШ використовує алгоритм мінімізації деякої функції, що оцінює якість варіантів відображення, що отримуються.

Заходи якості відображення: стрес. Мірою, що найчастіше використовується для оцінки якості припасування моделі (відображення), що вимірюється за ступенем відтворення вихідної матриці подібностей, є так званий стрес. Величина стресу Phi для поточної конфігурації визначається так: