Непрерывности функции в точке

Оглавление

Введение        2

1. Определения непрерывности функции в точке        3

1.1 Непрерывность основных элементарных функций        7

1.2. Свойства непрерывных функций        9

1.3 Непрерывность обратной функции        11

1.4 Непрерывность сложной функции        12

2. Точки разрыва и их классификация        14

3. Использование понятия непрерывности функции в точке при исследовании функции и построении графика        18

Заключение        25

Введение

Любая информация, представленная в виде таблиц и, самое главное, в виде графиков наилучшим образом воспринимается слушателем, читателем. А учитывая ситуацию, когда практически любой процесс может быть описан уравнением, умение построения графиков становится очень важным. Наиболее простой подход к построению графиков - исследование с помощью производной первой и второй и графическая интерпретация этого исследования.

В ходе исследования функции и построения графика немаловажное значение имеет вопрос поведения функции в некоторых точках. От этого зависит, является ли функция непрерывной или имеет точки разрыва различного порядка.

Актуальность: при построении различных видов графиков необходимо использование эффективных методов определения поведения графика функции.

Объект исследования: функции, графики

Субъект исследования: способы определения точек разрыва графика функции

Гипотеза: используя определения непрерывности и находя односторонние пределы в точках мы можем выяснить поведение функции в этих точках. То есть выяснить, является ли функция непрерывной, или имеет точки разрыва разного рода.

1. Определения непрерывности функции в точке

Определение 1. Пусть функция [pic 1] определена на множестве [pic 2] и пусть точка [pic 3]. Функция [pic 4] называется непрерывной в точке [pic 5], если:

1) функция определена в точке [pic 6],

2) существует предел [pic 7] 

 при этом 3)[pic 8] 

Если это определение записать кратко, то мы получим следующую интерпретацию.

Определение 1. Функция[pic 9] называется непрерывной в точке [pic 10], если:

1) [pic 11],

2) [pic 12],

3) [pic 13]).

При нарушении любого из трех указанных условий функция называется разрывной в точке [pic 14].

Поскольку [pic 15] поэтому первое определение непрерывности может быть записано в виде [pic 16] то есть операция вычисления непрерывной в точке [pic 17] функции [pic 18] и операция вычисления предела перестановочны.

Приведем примеры проверки указанных выше трех условий для определения поведения функции в точке

Пример 1.

[pic 19], [pic 20] [pic 21].

[pic 22] - непрерывна в любой точке [pic 23] по определению.

Пример 2.

[pic 24]

[pic 25] непрерывна в любой точке[pic 26],

[pic 27] имеет разрыв в точке 0 (нарушено второе условие определения).

График показан на рисунке 1.                              

                       Рисунок 1.[pic 28]

Для того, чтобы дать второе определение непрерывности функции дадим определение приращения аргумента и приращения функции. С этой целью рассмотрим точку [pic 29] функции [pic 30] и точку [pic 31], которая так же принадлежит области определения функции.

Величина [pic 32] называется приращением аргумента, [pic 33].

Величина [pic 34] называется приращением функции, соответствующим данному приращению аргумента [pic 35].