Жоғары ретті дифференциалдық теңдеулер n-ретті дифференциалдық теңдеу деп

Жоғары ретті дифференциалдық теңдеулер 

n-ретті дифференциалдық теңдеу деп

[pic 1]

түріндегі теңдеу аталады. Егер де ол жоғары ретті туындысына қарағанда шешілген болса, онда n-ретті дифференциалдық теңдеу

[pic 2]                                        (4.3)

түрінде жазылады.

(4.3)-тің шешімі деп [pic 3]-да анықталған, (4.3)-ке қойғанда оны тепе-теңдікке айналдыратын [pic 4] функциясы аталады.

(4.3)-тің жалпы шешімі х-тен және n еркін тұрақтыдан тәуелді болады: [pic 5].

Жалпы шешімнен [pic 6] тұрақтыларының бекітілген мәндерінде пайда болатын (4.3)-тің шешімі оның дербес шешімі деп аталады.

Жоғары ретті теңдеу үшін бастапқы шарттар

[pic 7],     [pic 8], …,   [pic 9]                     (4.4)

түрінде жазылады.

(4.3) теңдеуінің (4.4) бастапқы шарттарына қанағаттандыратын шешімін табу есебін Коши есебін шешу дейміз. 

Реті төмендетілетін дифференциалдық теңдеулер 

[pic 10] немесе

[pic 11]                                       (4.5)

дербес жағдайларын қарастырамыз.

1. [pic 12] теңдеуі. Бұл теңдеуде [pic 13] жоқ, оның шешімін бірте-бірте интегралдау көмегімен табамыз:

[pic 14], [pic 15],     [pic 16], …, [pic 17].

2. [pic 18] теңдеуі. Бұл теңдеуге [pic 19] және оның [pic 20]-шы ретке дейінгі туындылары кірмеген. Алмастыру жасаймыз: [pic 21], [pic 22], …, [pic 23], [pic 24] теңдеуін аламыз. Берілген теңдеудің ретті [pic 25]-ға төмендеді.

3. [pic 26] теңдеуі. Бұл теңдеуде [pic 27] айнымалысы айқын түрде жоқ. Алмастыру орындаймыз:[pic 28]. Енді [pic 29]-ті тәуелсіз айнымалы деп есептейміз, онда [pic 30],

[pic 31][pic 32],

т.с.с. Нәтижесінде [pic 33]-ші ретті теңдеуді аламыз. 

Жоғары ретті сызықтық дифференциалдық теңдеулер 

[pic 34]-ші ретті сызықтық дифференциалдық теңдеу деп

[pic 35]

түріндегі теңдеуді айтамыз, мұндағы [pic 36]– ізделінді функция, [pic 37]– оның туындылары, [pic 38] – аргумент, [pic 39], [pic 40] – алдын ала берілген үзіліссіз функциялар.

Егер [pic 41] болса, сызықтық дифференциалдық теңдеу біртекті емес, ал [pic 42] болса, біртекті деп аталады.

Біз ІІ-ші ретті сызықтық дифференциалдық теңдеулерді қарастырамыз. Нәтижелері [pic 43]-ші ретті сызықтық дифференциалдық теңдеулерге үлестіріледі.

[pic 44]                                  (4.6)

түріндегі теңдеу – ІІ-ші ретті сызықтық біртекті емес дифференциалдық тең-деу болады. Ал

[pic 45]                                  (4.7)

(4.6)-ға сәйкес ІІ-ші ретті сызықтық біртекті дифференциалдық теңдеу.

ІІ-ші ретті сызықтық біртекті дифференциалдық теңдеулер.

Біртекті сызықтық дифференциалдық теңдеудің шешімінің негізгі қасиеті 

4.1 теорема Егер [pic 46] мен [pic 47] функциялары (4.7)-нің шешімдері бол-са, онда

[pic 48]                                             (4.8)

функциясы [pic 49] және [pic 50] тұрақтыларының кез келген мәндерінде (4.7) теңдеуі-нің шешімі болады.

Дәлелдеуі. [pic 51] мен [pic 52] функциялары (4.7)-нің шешімдері болғандықтан, [pic 53], [pic 54] теңдіктері орындалады. (4.8) функциясын (4.7)-ге орнына қоямыз. Ол үшін [pic 55] пен [pic 56]-ді табамыз: [pic 57] [pic 58], [pic 59] [pic 60] [pic 61]. Теорема дәлелденді.

Сонымен, (4.8) функциясы (4.7)-ші теңдеудің шешімі болды. Осы функция (4.7)-нің жалпы шешімі болады ма? Бұл сұраққа жауап беру үшін функциялар жүйесінің сызықтық тәуелді немесе сызықтық тәуелсіз болу ұғымын енгіземіз.

4.4 анықтама Барлығы бірдей нөлге тең емес, яғни [pic 62], [pic 63] сандары табылып, [pic 64]-ның кез келген [pic 65] үшін